El problema de la aguja de Buffon fue formulado por primera vez en el siglo XVIII, por Georges-Louis Leclerc, más conocido como el Conde de Buffon, es un ejercicio clásico de la probabilidad geométrica que conecta la teoría de las probabilidades con el número 𝜋; este experimento consiste en lanzar una aguja sobre una superficie con líneas paralelas, y comprobar que después de muchos lanzamientos, la probabilidad de que la aguja cruce una linea se aproxima al valor de 𝜋. La aguja de Buffon constituye un punto de partida para la probabilidad geométrica, que fue desarrollada posteriormente por Laplace en su Teoría Analítica de las Probabilidades (1812); además, se considera uno de los primeros ejemplos sobre el uso de la simulación Monte Carlo (técnica que utiliza el muestreo aleatorio para aproximar resultados matemáticos complejos), y más allá del valor histórico que tiene, la aguja de Buffon es un divertido ejercicio para aproximar 𝜋, demostrando como las matemáticas pueden vincularse a experimentos físicos y simulaciones estadísticas.
GEORGES-LOUIS LECLERC (Montbard-Francia, 7 de septiembre de 1707 - París, 16 de abril de 1788).
Nombrado con el título de Conde de Buffon en 1773, fue un científico multidisciplinario, considerado uno de los personajes más influyentes del Siglo de las Luces en Europa, destacándose principalmente en el estudio de las ciencias naturales, sin embargo, su trabajo abarcó muchos campos del conocimiento como biología, geología, física, matemática, entre otros.
Georges-Louis Leclerc nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard dentro de una familia acomodada, estudió derecho en Dijon y más adelante matemática en París. En 1739, fue nombrado director del "Jardín del Rey", convirtiendo al lugar, en un centro de investigación y enseñanza, además, fue miembro de la "Academia Francesa". entre 1749 y 1788 escribió y publicó su gran obra "Histoire Naturelle, générale et particulière" (Historia Natural, General y Particular), que es una enciclopedia de 36 volúmenes donde describe el mundo natural, los animales, plantas y minerales, explicando que la Tierra y los seres vivos habían cambiado con el tiempo, con esto, sugirió ideas que presagiaban conceptos de evolución, que más adelante influyeron en figuras como Charles Darwin.
El Conde de Buffon tenía una visión única de las matemáticas como una herramienta aplicable a la vida diaria, en su ensayo "Essai d'Arithmétique Morale" (Ensayo sobre Aritmética Moral), discutía el uso de la probabilidad no solo en juegos de azar, sino también en decisiones humanas y situaciones prácticas; el problema de la "aguja de Buffon" es un claro ejemplo del uso de técnicas probabilísticas y geométricas que inspiró futuros trabajos en probabilidades; usó conceptos matemáticos para analizar problemas como la esperanza de vida, la rentabilidad de inversiones y decisiones basadas en incertidumbre, además, relacionó las matemáticas con cuestiones éticas y sociales, argumentando que la probabilidad podría usarse para tomar decisiones más racionales. Cabe resaltar por otra parte, el estilo literario y claro que usaba al comunicar sus trabajos científicos, el uso de un lenguaje que fue accesible incluso para los no especialistas. Leclerc falleció en 1788, dejando un vasto legado de conocimiento y es reconocido por ser de los primeros científicos en romper las barreras entre disciplinas, demostrando que todas estas áreas están conectadas.
PROBABILIDAD GEOMÉTRICA
La probabilidad geométrica es una rama de la teoría de probabilidades que se utiliza en casos donde los resultados de un experimento son continuos y se relacionan con medidas geométricas (longitudes, áreas, volúmenes, etcétera). En lugar de contar los casos favorables y los casos totales, como en la probabilidad discreta, aquí se comparan medidas geométricas:
\[P = \frac{\text{Medida del evento favorable}}{\text{Medida del espacio muestral}}\]
Las características principales hacen referencia al espacio continuo, ya que los eventos no son directamente contables, sino que se miden en términos de longitud, área, volumen, etc., y la uniformidad que se considera es que cualquiera de los puntos tiene la misma probabilidad de ocurrir.
EL PROBLEMA DE LA AGUJA DE BUFFON
El Conde de Buffon propuso este problema en 1777 dentro de su trabajo "Essai d'Arithmétique Morale", como parte de sus estudios sobre probabilidad geométrica, para explicar la aplicación de las matemáticas en problemas cotidianos, relacionando la probabilidad con situaciones geométricas; el problema de la aguja de Buffon, no solo es un ejercicio matemático abstracto, sino también, un experimento práctico para estimar el valor de 𝜋.
El ejercicio se puede realizar dejando caer una aguja varias veces sobre la superficie rayada, o también, al dejar caer muchas agujas sobre esa superficie y anotar las veces en que las agujas cruzan las rayas, se puede comprobar, entonces, que el experimento esta íntimamente relacionado con el número 𝜋. Dicho de manera matemática, que al dejar caer las agujas sobre la superficie, multiplicar esta cantidad por dos y dividir el resultado entre el número de veces que las agujas cruzan alguna de las rayas, obtenemos un número muy parecido a 𝜋.
Caso 1. Problema clásico (𝐿=𝑑)
a) Planteamiento del problema
Imaginemos una hoja de papel con líneas paralelas separadas por una distancia 𝑑, ahora lanzamos al azar una aguja de longitud 𝐿 sobre la hoja (consideremos que 𝑑=𝐿), queremos determinar la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas.
b) Variables:
Para resolver este problema, necesitamos tomar en cuenta:
- La posición del centro de la aguja (𝑥) respecto a la línea más cercana.
- El ángulo de inclinación de la aguja (𝜃) con respecto a las líneas paralelas.
Donde:
\(x\): Distancia desde el centro de la aguja hasta la línea más cercana (\(0 \leq x \leq \frac{d}{2}\))
\(\theta\): Ángulo de la aguja respecto a la dirección de las líneas (\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)).
Para que la aguja cruce una línea, debemos considerar el centro o mitad de la aguja, que depende del ángulo 𝜃; la aguja cruza una línea si:
\[x \leq \frac{L}{2} \sin(\theta)\]
Como 𝐿 = 𝑑, la condición quedaría como:
\[x \leq \frac{d}{2} \sin(\theta)\]
Lo que significa que la probabilidad depende de la posición 𝑥 y del ángulo 𝜃, ya que la proyección de la aguja debe alcanzar la distancia 𝑥 para cruzar la línea.d) Cálculo de la probabilidad
La probabilidad de que la aguja cruce una línea es el área bajo la curva definida por la condición \(x \leq \frac{d}{2} \sin(\theta)\) y para calcularlo debemos integrar sobre todas las posibles posiciones 𝑥 y ángulos 𝜃.
La probabilidad total 𝑃 es:
\[P = \frac{\text{Área bajo la curva}}{\text{Área total del espacio}}\]
Donde:
\[\text{Área bajo la curva}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{d}{2} \sin(\theta)} dx \, d\theta\ \]
\[\text{Área total del espacio} = \frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\]
Entonces la probabilidad se calcula con:
\[P = \frac{1}{\frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{d}{2} \sin(\theta)} dx \, d\theta\]
Y que al resolver lo anterior, obtenemos:
\[P = \frac{1}{\frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}\cdot \frac{d}{2} \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)\right)\]
\[P = \frac{1}{\frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}\cdot \frac{d}{2}\cdot \left(0+1\right)\]
\[P=\frac{2}{\pi}\]
e) Resultado final
Para el caso clásico (𝐿 = 𝑑), la probabilidad de que la aguja cruce una línea es una constante:
\[P=\frac{2}{\pi}\approx 0.636\]
Entonces si lanzamos la aguja muchas veces, cruzará aproximadamente el 63.6% de las veces.
f) Estimación de 𝜋
Si realizamos el experimento y estimamos 𝑃, podemos despejar 𝜋:
\[\pi \approx \frac{2}{P_{\text{estimado}}}\]
Suponiendo que después de lanzar 𝑛 agujas, observamos que cruzan las líneas en 𝑘 ocasiones, entonces podemos estimar 𝜋 como:
\[\pi \approx \frac{2n}{k}\]
Al realizar la mayor cantidad de lanzamientos de agujas, se obtiene una valor mas preciso de 𝜋.
Caso 2. Aguja corta (𝐿<𝑑)
a) Planteamiento del problema
Cuando la longitud de la aguja es menor que la distancia entre las líneas, el cálculo cambia porque la aguja tiene menos "alcance" para cruzar una línea; imaginemos una hoja de papel rayada, con líneas paralelas separadas con una distancia 𝑑 y una aguja de longitud 𝐿 (𝐿<𝑑) que se lanza al azar sobre la hoja, queremos determinar la probabilidad de que la aguja cruce una línea.
b) Variables
𝑥: La distancia del centro de la aguja a la línea paralela más cercana (\(0 \leq x \leq \frac{d}{2}\)).
𝜃: El ángulo entre la aguja y las líneas paralelas (\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)).
c) Condición para que la aguja cruce una línea
Para que la aguja cruce una línea, la distancia del centro de la aguja 𝑥 debe ser menor o igual a la proyección de la mitad de la aguja perpendicular a las líneas, lo que ocurre si:
\[x \leq \frac{L}{2} \sin(\theta)\]
Esta condición implica que la probabilidad de cruce depende tanto de 𝑥 como de 𝜃.
d) Cálculo de la probabilidad
La probabilidad de cruce 𝑃 es la proporción del área en el espacio de posibilidades (𝑥,𝜃) donde la condición \(x \leq \frac{L}{2} \sin(\theta)\) cumple con la comparación con el área total del espacio de posibilidades, entonces la probabilidad está dada por:
\[P = \frac{\text{Área bajo la curva}}{\text{Área total del espacio}}\]
Donde:
El área bajo la curva se calcula integrando 𝑥 sobre
\(0 \leq x \leq \frac{L}{2}\ sin(\theta)\) y luego integrando respecto a
𝜃 sobre \(0 \leq \theta \leq \pi/2\):
\[\text{Área bajo la curva}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{L}{2} \sin(\theta)} dx \, d\theta\ \]
Y:
\[\text{Área total del espacio} = \frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\]
Entonces la probabilidad se calcula con:
\[P = \frac{1}{\frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}\cdot \frac{L}{2} \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)\right)\]
\[P = \frac{1}{\frac{d \pi}{4}}\cdot \frac{L}{2}\cdot \left(0+1\right)\]
\[P=\frac{2L}{d \pi}\]
e) Resultado final
Entonces, cuando 𝐿 < 𝑑, la probabilidad de que la aguja cruce una línea es:
\[P = \frac{2L}{d \pi}\]
Interpretación en relación con 𝐿: A medida que 𝐿 se acerca a 𝑑, la probabilidad aumenta, alcanzando el valor del caso clásico (𝑃=2/𝜋) cuando 𝐿=𝑑.
Interpretación en relación con 𝑑: Si las líneas están más separadas (𝑑 grande), la probabilidad disminuye, ya que la aguja tiene menos oportunidad de cruzar una línea.
f) Estimación de 𝜋
Si realizamos un experimento y estimamos 𝑃, podemos despejar 𝜋 como:
\[\pi \approx \frac{2L}{dP_{\text{estimado}}}\]
a) Planteamiento del problema
En este caso, la longitud de la aguja 𝐿 es mayor que la distancia entre las líneas paralelas 𝑑, queremos calcular la probabilidad de que una aguja lanzada al azar cruce al menos una de las líneas paralelas.
b) Variables
𝑥: La distancia del centro de la aguja a la línea más cercana (\(0 \leq x \leq \frac{d}{2}\)).
𝜃: El ángulo entre la aguja y las líneas paralelas (\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)).
Sin embargo, debido a la mayor longitud de la aguja, es posible que una aguja cruce una o incluso dos líneas, entonces es necesario considerar estos escenarios de cruce.
c) Condiciones para el cruce
i. Cruce de una línea. Para que la aguja cruce una línea, la distancia del centro de la aguja al borde más cercano debe ser menor que la proyección de la mitad de la aguja perpendicular a las líneas, esto ocurre si:
\[x \leq \frac{L}{2} \sin(\theta)\]
ii. Cruce de dos líneas. Cuando 𝐿 > 𝑑, la aguja puede cruzar dos líneas si su longitud proyectada perpendicularmente (\(L \sin(\theta\)) es mayor que 𝑑, esto ocurre si:
\[\frac{L}{2} \sin(\theta) > d\]
La probabilidad total de cruce 𝑃, incluye tanto el cruce de una línea como el cruce de dos líneas y depende de integrar sobre todas las combinaciones de (𝑥,𝜃).
d) Probabilidad de cruce
La probabilidad de cruce 𝑃 se calcula como la proporción del espacio de posibilidades (𝑥,𝜃) donde ocurre al menos un cruce dividido entre el área total del espacio, entonces, teniendo en cuenta las condiciones de cruce, la probabilidad es:
\[P = \frac{1}{\frac{d}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\min\left(\frac{d}{2}, \frac{L}{2} \sin(\theta)\right)} dx \, d\theta\]
e) Resultado final
Después de resolver lo anterior, la probabilidad de cruce 𝑃 está dada por:
\[ P = \frac{2}{\pi} \left( \frac{L}{d} - \sqrt{\left(\frac{L}{d}\right)^2 - 1} + \arcsin\left(\frac{d}{L}\right) \right)\]
Interpretación en relación con 𝐿: Cuando 𝐿 aumenta, la probabilidad de cruce se aproxima a 1, ya que una aguja suficientemente larga siempre cruzará al menos una línea.
Interpretación en relación con 𝑑: Si 𝑑 aumenta (líneas más separadas), la probabilidad disminuye, ya que la aguja tiene menos oportunidad de cruzar.
f) Estimación de 𝜋
Al realizar un experimento y estimar 𝑃, podemos despejar 𝜋 usando la fórmula anterior.
\[\pi \approx \frac{2L}{dP_{\text{estimado}}}\]
Otros casos y variantes:
- Rejillas cuadradas (Problema de Buffon-Laplace): Para este caso, las lineas paralelas son tanto horizontales como verticales formando cuadrículas, las agujas pueden cruzar las lineas horizontales, verticales o ambos.
- Rejillas no cuadradas regulares: Se generan mediante líneas de formas regulares como hexágonos, triángulos, etc., la probabilidad de cruce varía en función de la geometría de las rejillas.
- Distancias no uniformes entre líneas: Si las no líneas están espaciadas uniformemente, en el cálculo se consideran las variaciones en la distancia.
- Aguja tridimensional: En este caso, el problema se plantea en el espacio tridimensional lanzando la aguja dentro de una cubo con líneas paralelas que añaden una dimensión angular al problema, entonces las probabilidades de cruce dependen de las orientaciones de las agujas en el espacio.
- Monedas en lugar de agujas: Al lanzar una moneda en una rejilla cuadrada o en líneas paralelas la probabilidad de los cruces depende del diámetro de la moneda y de la distancia entre las líneas.
- Problema de la varilla y los fideos de Buffon: en este caso no se consideran agujas sino varillas de formas curvas como arcos u otras formas irregulares y para el cálculo de los cruces, se integran las curvaturas.
Simulación del caso clásico:
Aplicaciones recomendadas: (1), (2).
Referencia: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8).
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