El Equilibrio de Nash es un trabajo sobre teoría de juegos propuesto por John Nash en 1950, el cual representa un punto de estabilidad o equilibrio en el que cada agente o jugador elige la mejor estrategia posible considerando lo que harán sus oponentes, pues al tomar una decisión unilateral no obtendría mejores resultados. Este equilibrio se utiliza en muchas áreas de estudio y contextos por ejemplo en la competencia de precios, competencia de producción, negociaciones, decisiones políticas, entre otros. En resumen, el Equilibrio de Nash es la mejor respuesta de cada jugador ante las decisiones de los demás, asegurando que ninguna parte pueda beneficiarse al cambiar su estrategia de manera individual.
Entre algunas características se tienen:
- Pueden existir múltiples equilibrios en un mismo juego.
- El equilibrio no siempre ofrece la mejor solución para todos.
- Cada jugador elige su mejor estrategia considerando lo que hacen los demás jugadores.
- Una vez alcanzado ofrece estabilidad, ya que cualquier desviación reduce el beneficio.
- Se aplica a cualquier tipo de juego sean cooperativos o no, de información completa o incompleta.
- Puede ser cualquier estrategia como precios, cantidades, movimientos, etc.
- Puede presentarse en estrategias puras o mixtas.
FÓRMULA GENERAL
El Equilibrio de Nash explica que ningún jugador tiene incentivos para cambiar unilateralmente su estrategia, expresado matemáticamente como:
EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS PURAS
En estrategias puras, un equilibrio de Nash se da cuando los jugadores eligen sus mejores estrategias y las fijan sin intención de realizar cambios unilaterales, estas acciones se realizan sin aleatoriedad. Tiene un papel importante en juegos estratégicos de competencia entre empresas, quienes fijan precios o cantidades para optimizar sus beneficios al observar que la competencia se mantiene igual.
Cómo encontrar un equilibrio en estrategias puras:
- Construir la matriz de pagos con las opciones y las recompensas de los jugadores.
- Identificar las mejores respuestas para cada jugador en función de las estrategias de los demás.
- Detectar el equilibrio, donde ninguna parte tiene incentivos para cambiar de estrategia.
Ejemplo:
Supongamos que dos empresas: Empresa 1 y Empresa 2, tienen la intensión de invertir en publicidad para atraer más clientes, las estrategias disponibles son:
Se debe considerar que las estrategias dependen de las decisiones que tomen ambas empresas.
1. Construir la matriz de pagos:
Asumimos que los valores de la siguiente matriz son utilidades netas expresadas en millones de dólares:
2. Identificar las mejores respuestas:
Para los casilleros de la matriz anterior, el primer número representa la utilidad de la Empresa 1, y el segundo, la utilidad de la Empresa 2, entonces interpretamos:
* (0,0): Si ambas empresas deciden no invertir en publicidad (N,N), el mercado se mantiene estable y sin cambios.
* (2,1): Si solo la empresa 1 invierte (I,N), ganará más clientes y obtendrá 2 millones de dólares, mientras que la empresa 2 obtendrá 1 millón de dólares.
* (1,2): Si sólo la empresa 2 invierte (N,I), entonces ganará 2 millones de dólares y la Empresa 1, 1 millón de dólares.
* (3,3): Si ambas invierten (I, I), ambas obtienen el mejor resultado posible.
3. Detectar el Equilibrio de Nash:
Buscamos el punto donde ninguna empresa tiene incentivos para cambiar su estrategia:
* Si la empresa 1 elige N, la empresa 2 preferirá I (porque 2 > 0).
* Si la empresa 1 elige I, la empresa 2 también elegirá I (porque 3 > 1).
* Si la empresa 2 elige N, la empresa 1 elegirá I (porque 2 > 0).
* Si la empresa 2 elige I, la empresa 1 también elegirá I (porque 3 > 1).
Resultado:
El equilibrio de Nash en este caso es ( I , I ) = ( 3 , 3 ) pues es la casilla en la que ambos valores están sombreados, lo que significa que ambas empresas prefieren una decisión mutuamente beneficiosa al elegir la estrategia de invertir en publicidad.
EQUILIBRIO DE NASH EN ESTRATEGIAS MIXTAS
En una estrategia mixta, los jugadores asignan probabilidades a las opciones disponibles en lugar de tomar una decisión única y fija, esto con el fin de encubrir sus tácticas ante el oponente; se usa juegos donde hay aleatoriedad, pues ser predecible podría resultar en una desventaja, como por ejemplo en la guerra de precios, competencias estratégicas, publicidad, seguridad nacional, entre otros.
Características:
- Los jugadores toman decisiones con ciertas probabilidades, en vez de tener una única estrategia.
- Los jugadores quieren ser impredecibles para sus oponentes.
- Las decisiones dependen de las acciones del oponente.
- Se usa cuando no hay equilibrio en estrategias puras.
- Pueden existir múltiples
equilibrios mixtos y combinaciones entre estrategias mixtas y puras.
Procedimiento para encontrar el equilibrio de Nash en estrategias mixtas:
- Construir la matriz de pagos.
- Verificar el equilibrio en estrategias puras.
- Definir las probabilidades de cada jugador 𝑝 y 𝑞.
- Calcular las utilidades esperadas para cada jugador, en función de las probabilidades del oponente.
- Interpretar los resultados.
Ejemplo:
Supongamos que dos empresas: Empresa 1 y Empresa 2, deciden invertir en publicidad para mejorar su mercado, sin embargo, se ven afectadas por las decisiones de una sobre la otra, tienen dos estrategias cada una:
- Invertir en publicidad (I)
- No invertir en publicidad (N)
1. Construir la matriz de pagos:
Asumimos que los siguientes valores, representan las ganancias en millones de dólares:
Según los valores de la matriz:
* (4,1): Si las dos empresas invierten en publicidad (I,I), el mercado se mantiene con mayores utilidades para la empresa 1.
* (3,4): Si la empresa 2 invierte, generará ligeramente más utilidades.
* (3,3): Si la empresa 1 invierte y la 2 no, ambas obtienen el mismo resultado
* (4,1): Si las dos empresas no invierten en publicidad (N,N), no hay impacto sobre las utilidades, pues ambas empresas no observan cambios.
2. Verificar el equilibrio en estrategias puras:
Buscamos el punto donde ninguna empresa quiere cambiar de estrategia:
* Si la empresa 1 elige I, entonces la mejor respuesta de la empresa 2 es N (porque 3 > 1).
* Si la empresa 1 elige N, entonces la mejor respuesta de la empresa 2 es I (porque 4 > 1).
* Si la empresa 2 elige I, entonces la mejor respuesta de la empresa 1 es I (porque 4 > 3).
* Si la empresa 2 elige N, entonces la mejor respuesta de la empresa 1 es N (porque 4 > 3).
Como observamos, no existe un equilibrio en estrategias puras (casilla en la que dos valores estén sombreados), entonces calculamos el Equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
3. Equilibrio de Nash en estrategias mixtas (ENEM)
Sea:
𝑝 = probabilidad de que la empresa 1 elija invertir (I).
1−𝑝 = probabilidad de que la empresa 1 elija no invertit (N).
𝑞 = probabilidad de que la empresa 2 elija invertir (I).
1−𝑞 = probabilidad de que la empresa 2 elija no invertir (N).
Ganancia esperada: Cada empresa elegirá una estrategia mixta, maximizando su ganancia esperada; las formas generales para su cálculo se encuentran en la siguiente tabla:
Reemplazando:
Condición del Equilibrio de Nash
Para que exista un equilibrio en estrategias mixtas, los jugadores deben ser indiferentes entre sus estrategias, entonces encontramos las probabilidades óptimas 𝑝∗ y 𝑞∗:
Para la Empresa 1:
\[U_{1,I} = U_{1,N}\]
\[3 + q = 4 - q\]
\[⇒ q^* = \frac{1}{2}\]
Para la Empresa 2:
\[U_{2,I} = U_{2,N}\]
\[4 - 3p = 1 + 2p\]
\[⇒ p^* = \frac{3}{5}\]
4. Resultado:
El equilibrio de Nash se encuentra en: \(p^*=\frac{3}{5}\) y \(q^*=\frac{1}{2}\), por tanto:
- La empresa 1 decide invertir en publicidad (I) con una probabilidad de 1/2 y decide no invertir (N) con probabilidad de 1/2, es decir, que invierte en publicidad el 50% de las veces.
- La empresa 2 decide invertir en publicidad (I) con una probabilidad de 3/5 y decide no invertir (N) con una probabilidad de 2/5, es decir, apuesta por invertir el 60% de las veces en publicidad.
Entonces:
\[ENEM = \left\lbrace(\frac{3}{5}I+ \frac{2}{5} N),(\frac{1}{2} I + \frac{1}{2} N)\right\rbrace\]
Representación gráfica de las respuestas:
a) Respuestas para la Empresa 1:
Comparamos para p = 1: U1,I > U1,N → 3 + q > 4 - q → q > 1/2; entonces las respuestas para p son:
\[p = \begin{cases} 1, & \text{si } q > \frac{1}{2} \\ [0,1], & \text{si } q = \frac{1}{2} \\ 0, & \text{si } q < \frac{1}{2} \end{cases}\]
Comparamos para q = 1: U2,I > U2,N → 4 - 3p > 1 + 2p → p <3/5; entonces las respuestas para q son:
\[q = \begin{cases} 1, & \text{si } p < \frac{3}{5} \\ [0,1], & \text{si } p = \frac{3}{5} \\ 0, & \text{si } p > \frac{3}{5} \end{cases}\]
c) Gráficamente:
Referencia: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10).
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