Agnesi fue una matemática, lingüista, filósofa y escritora, que en 1748 publicó su obra más conocida “Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana” (Instituciones analíticas para el uso de la juventud italiana) en donde se abordan temas de la teoría de ecuaciones algebraicas, geometría cartesiana, análisis infinitesimales como cálculo diferencial e integral. En 1950 fue nombrada profesora honorífica de Matemáticas en la Universidad de Bolonia. Así mismo, se dedicó al estudio de la Teología dogmática y Literatura mística, apoyó en la enseñanza del Catecismo en la Congregación de las Escuelas de Doctrina Cristiana, tras el deterioro de su salud y la muerte de su padre, tomo la decisión de entregarse por completo a la vida caritativa.
LA BRUJA DE AGNESI
En el libro ya mencionado, hace referencia a una curva geométrica que fue estudiando anteriormente por Fermant y Grandi en 1630 y 1703 respectivamente. El término "bruja" se trató de un error de traducción, ya que la curva se denominada "versiera" (que en italiano significa Cuerda para hacer girar a la vela) y que fuera erróneamente traducida al inglés por John Colson como "avversiera" (que significa mujer maligna y endemoniada o simplemente "bruja")
CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA
Para definir la curva se considera la circunferencia de centro (0, a/2) y radio a/2. Sea AB = a un diámetro de dicha circunferencia, r la recta que contiene al diámetro AB, u la recta perpendicular a r que pasa por A, t la recta perpendicular a r que pasa por B, M un punto que recorre la circunferencia y s la recta que pasa por M y A. Sea N el punto de intersección de las rectas s y t (Molero & Salvador)).
Entonces:
La curva de Agnesi es el lugar geométrico de los puntos P que están a igual distancia de la recta u que el punto M, y a la misma distancia de la recta r que el punto N, cuando M recorre la circunferencia. Por tanto, si P tiene como coordenadas P (x, y), su abscisa x coincide con la del punto N (x, a) y su ordenada con la del punto M (Molero & Salvador).
Entonces la ECUACIÓN CARTESIANA de la curva es:
Es una función par, creciente para x<0 y decreciente para x>0, por lo que tiene un máximo en el punto (0, a). Tiene como asíntota horizontal a y=0. Es una curva de longitud infinita, pero cuya área bajo la curva es finita y vale a 2π.
Ecuaciones paramétricas: Si α es el ángulo MAB, entonces x = a• tg α e y = AM• cos α, luego y ² = AM² • cos ² α. Aplicando el teorema del cateto al triángulo rectángulo AMB se tiene que AM ² = ay, por tanto y ² = ay • cos ² α, y si y es distinto de cero: y = a • cos ² α. (Para y = 0, como cos α = 0, también se verifica la ecuación).
(Fuente)
Luego LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS son:
Siendo t = tg se tiene:
FORMA GRÁFICA:
APLICACIONES:
- Fenómenos de resonancia: aproxima la curva de la potencia disipada en circuitos que transmiten un rango de frecuencias muy estrecho (sharply tuned resonant circuits), que se emplean, por ejemplo, en receptores de radiofrecuencia o de audio para reducir el ruido y para realizar una mejor sintonización de la señal (Del Villar, 2017).
- Estadística: la versiera de Agnesi equivale a la función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy empleada para describir la deformación que se produce en la región donde se origina un terremoto o las diferencias de velocidad entre los elementos que forman un vórtice —flujo turbulento en espiral que se presenta en los tornados.
- Líneas espectrales: en 1932 se constató en la universidad de Cornell, Estados Unidos, que la distribución de energía de las líneas espectrales de los rayos X encaja con "la bruja". Después se comprobó que es el prototipo de la curva para representar la distribución de energía de las líneas espectrales en general.
- Ondas de los océanos: la famosa curva empleada para estudiar la generación de ondas internas
- Mountain waves (ondas montañosas): Son un tipo de ondas de gravedad (ondas obtenidas al perturbar un fluido por efecto de la gravedad) que se producen en la atmosfera. Estas son realmente cambios periódicos en la presión, en la temperatura y en la altura ortométrica -distancia con respecto al nivel medio del mar- de una corriente de aire generada por perturbaciones verticales en la orografía (por ejemplo al soplar el viento sobre una colina). La curva de Agnesi se asemeja a estas ondas (Del Villar, 2017)
- Fenómenos de resonancia, por ejemplo, un átomo afectado por una radiación monocromática, emite radiación cuya intensidad depende de la frecuencia de la radiación emitida, y la relación entre los dos radiaciones viene dada por la bruja de Agnesi, con el máximo en la longitud de onda de luz incidente (Fuente)
CONSTRUCCIÓN EN GEOGEBRA
Ejemplos: 1, 2, 3.
Referencias: fuente 1, fuente 2, fuente 3, fuente 4.
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