En 1713 el matemático suizo Nicolaus Bernoulli propuso una conjetura entre A y B, donde el valor esperado para B es infinito, se trata de un juego de apuestas de infinitas ganancias, cosa que resulta inconsistente. Tras 25 años, en 1738 Daniel Bernoulli, primo de Nicolaus, publicó la primera posible solución sobre las actas de la academia de San Petersburgo.
Esta famosa paradoja de la teoría de la probabilidad y la teoría de decisiones que consiste en un juego de apuestas con un valor esperado infinito, plantea lo siguiente: “Se lanza una moneda al aire de forma sucesiva hasta que salga cruz por primera vez, quedando el premio para el jugador condicionado al número de veces que se ha lanzado la moneda, empezando por 2 y duplicando el premio en cada lanzamiento. Si sale cruz en el primer lanzamiento, el premio sería de 2¹=2, si saliera en la segunda, 2²=4, si fuera la tercera 2³=8 y así sucesivamente, de manera que en n tiradas el premio sería 2ⁿ.” [1]
La paradoja plantea varias inconsistencias, pues en realidad el jugador sólo está dispuesto a pagar una pequeña cantidad y, por otro lado, la banca tendría que tener disponible un monto infinito de dinero para enfrentar una ganancia que teóricamente no tiene tope. Entonces, ¿cuál es el precio justo que el jugador debería pagar para entrar al juego sin la que la apuesta le sea desfavorable? ¿Cuánto debe tener la banca en realidad para enfrentar los gastos de esta apuesta? [2]
Antes de empezar el juego hay un número infinito de posibles resultados: que la primera cruz salga en el lanzamiento 1°, que salga en el lanzamiento 2°, en el 3°, en el 4°… La probabilidad de que la primera "cruz" aparezca en el lanzamiento k es de: pᵏ = 1/2ᵏ; y la ganancia es 2ᵏ. Salir cruz en el 1° tiene una ganancia de 2¹ y una probabilidad de 1/2; salir cruz en el 2° tiene una ganancia de 2² y una probabilidad de 1/2²; salir cruz en el 3° tiene una ganancia de 2³ y una probabilidad de 1/2³…, y así indefinidamente:
(1/2 • 2 + 1/4 • 4 + 1/8 • 8 + 1/16 • 16 + 1/32 • 32 +.....+... = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...+.....=∞
Entonces la esperanza matemática de ganar es:
En definitiva, el juego no es interesante para nadie. Poquísima gente invertiría grandes cantidades y por otro lado ningún casino estaría interesado ante la posibilidad, por pequeña que fuera, de quedar totalmente arruinado frente al pago de un premio desorbitado. [4]
Para esta paradoja, que ha sido debatida durante más de 300 años y que ha resultado ser de gran interés para la teoría económica moderna, se han propuesto varias soluciones, algunas son:
Daniel Bernoulli (1938) indicó que cualquier incremento en riqueza, no importa cuán insignificante, siempre resultará en un incremento en utilidad que es inversamente proporcional a la cantidad de bienes ya poseídos. “Los matemáticos, en su teoría, valoran el dinero en proporción a la cantidad del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valora en proporción a la utilidad que puede obtener de él”. Lo que quería decir Bernoulli es que no es lo mismo ganar 100 cuando se tienen 10 que cuando ya se tienen 1.000, y que a partir de cierto número de tiradas, la utilidad marginal de los premios se acerca a cero. A efectos prácticos, es lo mismo ganar mil billones que dos mil, pero valoramos mucho el dinero que apostamos, y nuestro sistema de aversión al riesgo nos hace reacios a invertir grandes cantidades en apuestas poco probables, aunque las ganancias sean infinitas como en este caso.[1]
La función de utilidad (u(x)) es el truco que los economistas usan para poder representar matemáticamente las preferencias de los agentes económicos, y en el caso de una persona racional, aunque es siempre creciente, crece de forma cóncava (es decir, crece cada vez más despacio). El sentido común apoya esta intuición. El valor "real" de 100 euros para alguien que tiene cero es muchísimo (ya que es una cuestión de supervivencia), pero para alguien que ya tiene un millón de euros, es ínfimo. Dicho de otra forma, la utilidad marginal del dinero es decreciente.
Por lo tanto, no hay que medir el valor esperado del juego, sino la utilidad esperada (que llamaremos U). Repasando las fórmulas del otro post, nos daríamos cuenta rápidamente de que dicha utilidad es U = (1/4)•u(2) + (1/8)•u(4) + (1/16)•u(8) + ... = Σ[u(2n)/2n+1], donde u(x) representa la utilidad de percibir x euros. Pero ¿cómo es la función u(x)? en realidad, es imposible medir numéricamente la satisfacción obtenida, y de hecho, cada consumidor tendrá su propia función de utilidad (por ejemplo, un amante del riesgo percibirá en el juego una utilidad esperada mayor que una persona muy conservadora). [5]
Una solución de la paradoja también llegó por parte del matemático norteamericano William Feller en 1945, usando la demostración de una ley débil de grandes números que había propuesto en 1937. Feller planteó permitir un número finito, pero suficientemente grande de N repeticiones del juego. Entonces, el precio justo de cada juego seria log N, el logaritmo con base 2 de N. Así, el precio justo que pagaría el jugador por repetir el juego 1024 veces, sería de 10 monedas. Feller demostró también que no se tiene una convergencia casi segura bajo ninguna normalización. [6]
Un análisis interesante de esta paradoja fue el realizado por Luis Cañas en su obra “El falso dilema del prisionero. Una visión más amplia de las decisiones racionales” (2008), que consiste en limitar el número máximo de tiradas para que salga cruz, y calcular así la esperanza matemática en cada caso: Lógicamente, a medida que aumentamos el número de tiradas posibles, el premio máximo crece exponencialmente, pero también lo hace el riesgo de volvernos con menos dinero del invertido, al tiempo que decrecen las posibilidades reales de llevarnos esas grandes cantidades. Ahí es cuando empieza intervenir la mencionada utilidad del dinero, la aversión al riesgo o incluso el temor de que la banca en realidad no podría asumir un premio tan grande, dada la escasa probabilidad de que ocurra. [7]
Así mismo, el matemático francés D’Alembert en la teoría desarrollada en su obra “La Ley del equilibrio”, conjeturaba un posible equilibrio entre “éxitos” y “fracasos” de ciertos sucesos aleatorios, siempre y cuando la serie de dichos sucesos fuese lo suficientemente larga. [8]
En 1934, el economista austriaco Karl Menger señaló que siempre se podría inventar un juego alternativo en el que el premio crezca a una velocidad tan rápida que su logaritmo siga aumentando a un ritmo tal que nunca llegue a estabilizarse. En ese "super-juego de San Petersburgo" el valor de la utilidad esperada sería también infinito y, sin embargo, ningún jugador ofrecería una suma muy elevada por jugar. Otros autores señalaron que nadie sensato jugaría al juego de San Petersburgo, porque si el jugador tiene mucha suerte, la primera cara tarda en salir y, en consecuencia, el premio es descomunal, la "banca" no tendría previsiblemente recursos para satisfacerlo. Así pues, en el mundo real el premio potencial es siempre finito.
Finalmente, el año 2000 Matthew Rabin, uno de los defensores de la "Psicología Financiera" (Behavioral Finance), mostró que la aversión al riesgo de los individuos y, en particular, su rechazo de pequeñas apuestas con esperanza matemática positiva, no puede basarse en la hipótesis de Bernouilli del carácter decreciente de la utilidad marginal, porque eso llevaría a que rechazaran apuestas con premios elevadísimos y escasísimo riesgo. La explicación de ese habitual rechazo de pequeñas apuestas con un valor esperado positivo está, según Rabin, en la valoración asimétrica que damos a las pérdidas y a las ganancias, uno de los principios esenciales de la Prospect Theoryde Daniel Kahneman y Amos Tversky, una teoría que constituye el núcleo esencial de la Psicología Financiera. Algunos han visto un paralelismo entre la paradoja de San Petersburgo y las desmesuradas valoraciones de algunas growth stocks durante la burbuja dotcom que concluyó en la primavera del 2000: la ingenua previsión de que sus beneficios crecerían indefinidamente en el futuro a una tasa superior al tipo de interés de descuento habría elevado desmesuradamente su valoración. [9]
A continuación, un ejemplo …
Fuentes [1], [2], [3],[4], [5], [6], [7], [8], [9].
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